量子特殊関数・量子代数・量子幾何学

数学を知らない人と世間話をすると「数学というのは数の研究をする分野ですね」といった話が挙がる。これは間違いではないのだが、数の他にも研究対象がある。中学数学には関数・式・図形といったものが登場するが、それらの延長概念も現代数学の研究対象で、おおまかにはそれぞれ解析・代数・幾何という三つの分野に分けることができる。それぞれの分野に現れる多様な研究対象があることが数学の魅力の一つである。また一方で、いろいろな研究が意外なかたちで関係することも数学の面白さの一つで、それを強調する言葉として「数学は一つ」 (the unity of mathematics) というフレーズがある。

さて、タイトルには「量子」がつく単語が並んでいる。「量子」はもともと物理学の用語で、分子や原子など人間が肉眼で観測できないようなミクロスケールの物理現象を記述する理論、つまり量子論に由来する。現代数学で扱われる概念の中には理論物理学に由来するものがたくさんあるが、タイトルの三つの単語もその例である。といっても、数学業界で合意がある概念ではなく、特に最初に挙げた「量子特殊関数」というのはかなり曖昧なもので、筆者が勝手にでっちあげたものだ。次の節では量子特殊関数の例として $q$ 超幾何直交多項式の紹介をしよう。

以下では難しい話も出てくるかもしれないが、現代数学の雰囲気だけでも味わっていただきたい。

まず $q$ 超幾何関数の記号を導入する。以降、$A \ceq B$ と書いてあったら「$A$ を $B$ で定義する」の意味だと理解していただきたい。本文で用いる記号はG. GasperとM. Rahman [3] によるものである。

$q$ を複素数として、以降これを量子パラメータとよぶ。非負整数 $k$ と複素数 $x$ に対して $(x;q)_k \ceq (1-x)(1-xq)\dotsm(1-xq^{k-1})$ と置き、また複素数 $x_1,\dotsc,x_r$ に対して $(x_1,\dotsc,x_r;q)_k \ceq \prod_{i=1}^r (x_i;q)_k$ とする。そして複素パラメータ $a_1,\dotsc,a_r,b_1,\dotsc,b_s$ を持つ変数 $z$ の $q$ 超幾何級数を \begin{align}\tag{数式1}\label{eq:qhg} \qHG{r}{s}{a_1,\dotsc,a_r}{b_1,\dotsc,b_s}{q}{z} \ceq \sum_{k=0}^\infty \frac{(a_1,\dotsc,a_r;q)_k}{(q,b_1,\dotsc,b_s;q)_k} \Bigl((-1)^n q^{\binom{k}{2}}\Bigr)^{1+s-r}z^k \end{align} で定義する。収束半径内でこの級数は $z$ の正則関数を定めるが、それを $q$ 超幾何関数とよぶ。分子のパラメータの一つ $a_i$ が非負整数 $n$ を用いて $a_i=q^n$ と書ける場合、\eqref{eq:qhg} は $z$ に関する $n$ 次多項式になるが、それを $q$ 超幾何多項式とよぶ。さらに直交性をもつ多項式族を $q$ 超幾何直交多項式とよぶ。

1980年代にRichard Askey氏とJames A. Wilson氏は $q$ 超幾何直交多項式の分類理論を構築した。その結果は図1にまとめられる。各ラベルが直交多項式系に対応し、矢印はパラメータ・変数の極限操作で行先の直交多項式系を復元することに対応する。また各段の直交多項式系は最右列の $q$ 超幾何多項式 $\qhg{r}{s}$ で表され、括弧内の個数のパラメータをもつ。図1を $q$ 超幾何直交多項式のAskeyスキームまたは単に $q$-Askeyスキームとよぶ。

次に特殊関数と量子代数 (量子パラメータ $q$ を持つ非可換代数のこと) との関わりについて説明しよう。図1の $q$-Askeyスキームにおいて最上段にあるAskey-Wilson多項式 [1]を取り上げる。この直交多項式系は四つのパラメータ $a,b,c,d$ と量子パラメータ $q$ を持つ $q$ 超幾何多項式系 $p_0,p_1,p_2,\dotsc$ で、\eqref{eq:qhg}の記号を使って \[ p_n(\nu(x);a,b,c,d;q) = \frac{(ab,ac,ad;q)_n}{a^n}\qHG{4}{3}{q^{-n},abcdq^{n-1},ax,ax^{-1}}{ab,ac,ad}{q}{q} \] と表される。ただし $\nu(x)\ceq(x+x^{-1})/2$ で、直交性は $x$ ではなく $\nu(x)$ としての関数として現れる。

AskeyとWilsonは、この直交多項式 $p_n(z)$ が二階の $q$ 差分方程式 \begin{align*} &\Phi p_n(z) = \lambda_n p_n(z), \quad \Phi \ceq A(z)(T_{q,z}-1)+A(z^{-1})(T_{q,z}^{-1}-1), \\ &A(z) \ceq \frac{(1-az)(1-bz)(1-cz)(1-dz)}{(1-z^2)(1-qz^2)}, \quad \lambda_n \ceq q^{-n}(1-q^n)(q-abcdq^{n-1}) \end{align*} を満たすことを発見した。ここで「$q$ 差分」とは $q$ シフト作用素 $T_{q,z}$ 、つまり変数 $z$ の関数 $f(z)$ に $T_{q,z}f(z) = f(qz)$ と作用する演算子を含むことを指している。

Askey-Wilson多項式のさまざまな性質を調べる際、この $q$ 差分作用素 $\Phi$ を含む量子代数 $\bbH$ が大変役に立つ。この代数 $\bbH$ はIvan Cherednik氏 [2] やSiddartha Sahi氏 [6] らが1990年代に導入した二重アフィンHecke代数 (double affine Hecke algebra) の特別な場合で、この文書ではそれを単に量子代数とよぶ。 $\bbH$ は量子パラメータの平方根 $q^{1/2}$ と四つのパラメータ $k_0,k_1,k_2,k_3$ をもち、以下の五つの関係式\eqref{eq:DAHA}を満たす $V_0,V_1,V_2,V_3$ で生成される。 \begin{align}\tag{数式2}\label{eq:DAHA} (V_i-k_i)(V_i+k_i^{-1})=0 \quad (i=0,1,2,3), \quad V_3V_1V_0V_2=q^{-1/2}. \end{align}

Askey-Wilson多項式は量子代数 $\bbH$ の忠実なLaurent多項式表現 $(\pi,\bbC[z^{\pm1}])$ の基底とみなせることが野海正俊氏 (立教大) の1995年の研究 [8] によりわかっている。さらに、量子代数 $\bbH$ の背後には $\CvC$ 型アフィンルート系 $S$ があって、このルート系がAskey-Wilson多項式を統制している。特に四つのパラメータがあることは、アフィンWeyl群の作用によって $S=O_1 \sqcup O_2 \sqcup O_3 \sqcup O_4$ と四つの軌道に分解される事に由来する。

量子代数 $\bbH$ を使うことで解明されるAskey-Wilson多項式の性質を一つ紹介しよう(名大多元数理の山口航平さんとの共同研究[7])。図1の $q$-Askeyスキームはアフィンルート系の話を反映していない。一方、アフィンルート系 $S$ には自然な部分アフィンルート系があって、それをまとめると図2のようになる。ここで各矢印は行き先が出発の部分ルート系であることを意味する。

では、この図2と整合的なAskey-Wilson多項式のパラメータの特殊化はあるだろうか。答えはYesで、結果をまとめると図3のようになる。

最後に、現在研究を進めている話題を一つ紹介する。\eqref{eq:DAHA}で定義した量子代数 $\bbH$ において、以下の三つの元 $X_1,X_2,X_3$ に注目する。 \[ X_1 \ceq q^{1/2}V_0V_2+V_3V_1, \quad X_2 \ceq V_0^{-1}V_3^{-1}+V_3V_0, \quad X_3 \ceq q^{1/2}V_2V_3+qV_1V_0. \] Alexei Oblomkov氏の研究 [5] により、古典極限の代数 $H \ceq \lim_{q \to 1} \bbH$ の中心 $Z(H)$ は次の表示をもつ。 \begin{align*} Z(H) = \bbC[X_1,X_2,X_3]/(R), \quad R \ceq X_1X_2X_3-X_1^2-X_2^2-X_3^2+s_1X_1+s_2X_2+s_3X_3+s_4. \end{align*} ただし $(R)$ は $R$ が生成するイデアルで、また $s_i$ たちは $k_j$ たちの多項式で表せる。つまり $Z(H)$ は、三変数 $X_1,X_2,X_3$ の三次代数方程式 $R=0$ が定義するアフィン三次曲面の座標環と見なせる。アフィン三次曲面は代数幾何学の古典的な、かつ豊富な性質をもつ対象である。

実は、量子代数 $\bbH$ をアフィン三次曲面の変形量子化と見なすことができる。この事からアフィン三次曲面に付随した多くの話題、例えばPainlevè微分方程式 $P_{\textup{VI}}$ のモノドロミー多様体、散乱図用をいた族のミラー構成とその量子版、等がAskey-Wilson多項式と関係することが期待できる。現在、前節の最後に述べた $\CvC$ 型アフィンルート系と整合的な図式 (図2、図3) を、幾何学の量子版の立場から再解釈することを目標に研究を進めている。

以上で

• $q$ 超幾何直交多項式とその体系を表す $q$-Askeyスキーム
• $q$ 超幾何直交多項式の「親玉」であるAskey-Wilson多項式
• Askey-Wilson多項式の性質を記述する量子代数 (二重アフィンHecke代数)
• この量子代数はアフィン三次曲面の座標環の量子変形とみなせること

を説明した。直交多項式に関して興味がある読者への参考文献として、名大関係者による和書 青本和彦「直交多項式入門」数学書房, 2013 を挙げる。また、$q$ 超幾何直交多項式の多変数版としてMacdonald多項式の理論があるが、それに関しては創設者のI. G. Macdonaldによる書籍 (Cambridge Univ. Press, 2003) と、筆者による書評 柳田伸太郎, 書評: Affine Hecke Algebras and Orthogonal Polynomials, 数学, 74号1巻, 2022, 105-111 を参考にされたい。

冒頭で述べたように、現代数学の面白さの一つは、古典的ないし素朴な数学的対象・事例には複数の現代的数学概念が交叉して現れていて、対象の研究を多角的に行うことができる点である。この面白さが拙文を通じて読者に少しでも伝われば幸いである。